Bestimme eine Basis von Kern(u), Bild(u), was ist rang(u)

Question

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Aufgabe 46
Sei \( V=\mathbb{R}^{3} \) und \( B=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \) die kanonische Basis von \( V \). Wir bezeichnen die lineare Abbildung \( u: V \rightarrow V \) mit
\( u\left(e_{1}\right)=-2 e_{1}+2 e_{3}, \quad u\left(e_{2}\right)=3 e_{2}, \quad u\left(e_{3}\right)=-4 e_{1}+4 e_{3} . \)
(i) Bestimmen Sie eine Basis von Kern \( (u) \). Ist \( u \) injektiv? Kann \( u \) surjektiv sein? Warum?
(ii) Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{Im}(u) \). Was ist \( \operatorname{rang}(u) \) ?
(iii) Zeigen Sie: \( V=\operatorname{Kern}(u) \oplus \operatorname{Im}(u) \).

Problem/Ansatz:

könnte mir hier wer weiterhelfen? also beim Kern würde ich mal sagen dass er nicht 0 sein kann weil e1 = e2 = e3 nicht 0 ist aber leider weiß ich auch nicht weiter was er sonst ist....

Beim Bild würd ich sagen e1(-2,-4) e2(3,0) e3(0,4)

Bitte bessert mich aus falls ich falsch liege, für (iii) hab ich leider gar keinen Ansatz....

Answer 1

Ermittle die Abbildungsmatrix \(M\) von \(u\) bezüglich der Basis \(B\).

Dann ist

        \(\begin{aligned} \operatorname{Kern}(u) & =\left\{ x\in\mathbb{R}^{3}|\ M\cdot x=0\right\} \\ \operatorname{Im}(u) & =\left\{ y\in\mathbb{R}^{3}|\ \exists x\in\mathbb{R}^{3}:\,M\cdot x=y\right\} \\ \operatorname{rang}(u) & =\operatorname{rang}(M)\text{.} \end{aligned}\)

Comments

das verstehe ich leider nicht ganz, und was ist mit e1, e2, e3?