Ich betrachte hier nur die reelle Problematik. Für komplexe Matrizen
muss man passende Änderungen vornehmen. Sei \(V=\mathbb{R}^n\)
und \(A\) eine reelle \(n\times n\)-Matrix. Ferner sei \(\langle .,. \rangle\)
das Standardskalarprodukt. Dann gilt
\(Bild(A)^{\perp}=\{v\in V:\; \langle v,w\rangle = 0 \; \forall w \in Bild(A)\}=\)
\(=\{v\in V:\; \langle v, Ax \rangle = 0\; \forall \; x\in V\}=\{v\in V:\; \langle A^Tv, x\rangle =0\; \forall x\in V\}=\)
\(=Kern(A^T)\).