Also als erstes kommt der Induktionsanfang mit n=1, was dann aufgeht.✓
Dann: Angenommen es gilt für ein n∈ℕ (unter den Vor'en)
\( a^{n}-2^{n} \geqq \sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} 2^{k} \) bzw. \( a^{n} \geqq 2^n+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} 2^{k} \)
Da a>0 folgt
==> \( a^{n+1}=a \cdot a^n \geqq a\cdot(2^n+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} 2^{k}) \)
\(= a\cdot 2^n+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k} 2^{k} \)
wegen a≥3 gilt \( \geqq 3\cdot 2^n+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k} 2^{k} \)
\(= 2^n+2^{n+1}+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k} 2^{k} \)
\(= 2^{n+1}+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k} 2^{k} +2^na^0\)
\(= 2^{n+1}+\sum \limits_{k=0}^{n} a^{n-k} 2^{k} \)
\(= 2^{n+1}+\sum \limits_{k=0}^{n} a^{(n+1)-1-k} 2^{k} \) q.e.d.