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Bestimmen Sie alle Nullstellen des folgenden Polynoms, wobei Sie verwenden dürfen, dass \( \mathrm{x}=1 \) - i eine Nullstelle ist.
\( \mathrm{p}(\mathrm{x})=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}+2 x^{2}-2 x \)


Ich kann mit der x = 1 - i nichts anfangen, wie sollte man das machen?

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wie sollte man das machen?

Du kannst das Polynom durch den Linear-Faktor \((x-(1-i))\) dividieren (Polynomdivision, Hornerschema) und so diesen Faktor abspalten.

Das kann man machen, muss man aber nicht.

4 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

wenn \((1-i)\) eine Nullstelle ist, dann ist auch \((1+i)\) eine Nullstelle. Und das Produkt ist$$(x-(1-i))(x-(1+i)) = x^2-2x+2$$Weiter ist ersichtlich, dass \(x=0\) eine Nullstelle ist. Dividiere also$$(x^4-2x^3+x^2+2x-2)\div(x^2-2x+2)$$siehe Polynomdivision. Falls Du dabei Schwierigkeiten hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Danke! Ich hab es hinbekommen, hab die Nullstellen: 0, 1 und -1.

hab die Nullstellen: 0, 1 und -1.

ist richtig, und die vierte und fünfte Nullstelle ist \((1-i)\) und \((1+i)\)

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Hallo,

\(\mathrm{p}(\mathrm{x})=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}+2 x^{2}-2 x \)

\(0=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}+2 x^{2}-2 x \)

\(0=x\cdot(x^{4}-2 x^3+x^2+2 x-2 )\)

Wenn man die Koeffizienten addiert, ergibt das Null. Also ist x=1 eine Nullstelle.

\(0=x\cdot(x^{4}-x^3-x^3+x^2+2x-2 )\)

\(0=x\cdot(x^{3}(x-1)-x^2(x-1)+2(x-1) )\)

\(0=x\cdot(x-1)\cdot(x^{3}-x^2+2)\)

x=-1 eine Nullstelle von x³-x²+2.

\(0=x\cdot(x-1)\cdot(x^{3}+x^2-2x^2-2x+2x+2)\)

\(0=x\cdot(x-1)\cdot(x^2(x+1)-2x(x+1)+2(x+1))\)

\(0=x\cdot(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x^2-2x+2)\)

Die Nullstellen des letzten Klammerterms lassen sich nun leicht bestimmen.

\(0=x\cdot(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-(1+i))\cdot(x-(1-i))\)

:-)

Avatar von 47 k
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Die Nullstelle x1=0 sieht man. Die Nullstellen x2=1 und x3= - 1 findet man durch Probieren.

Nach Division des Polynoms durch die zugehörigen Linearfaktoren bleibt x2-2x+2=0 zu lösen: x4=1- i; x5=1+i.

Avatar von 123 k 🚀

Hab jetzt wie es Werner-Salomon oben beschrieben hat gemacht und hab die Nullstellen 0,1 und -1 gefunden.

Indem ich die Polynomdivison benutzt habe : \((x^4-2x^3+x^2+2x-2)\div(x^2-2x+2)\)

Muss ich jetzt nochmal extra das machen was du gesagt hast ? Also x2-2x+2=0 lösen ?

Um auf x4=1- i; x5=1+i zu kommen? Oder ist dies nicht notwendig?

Muss ich jetzt nochmal extra das machen was du gesagt hast ? Also x2-2x+2=0 lösen ?

Ja!

Muss ich jetzt nochmal extra das machen was du gesagt hast ? Also x2-2x+2=0 lösen ?

Ja!

Nein. Man soll hier ausnutzen, dass nicht reelle Nullstellen eines Polynoms mit lauter reellen Koeffizienten immer paarweise auftreten. Das bedeutet hier, dass sämtliche Zerlegungsmaßnahmen wie Polynomdivision, Ausklammern etc. unnötig sind, da ja alle fünf Nullstellen entweder gegeben oder offensichtlich sind.

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x^5 - 2·x^4 + x^3 + 2·x^2 - 2·x = x·(x^4 - 2·x^3 + x^2 + 2·x - 2) → x = 0

Wenn (1 - i) eine Nullstelle ist ist auch (1 + i) eine Nullstelle und damit enthält die Funktion den Faktor

(x - (1 - i))·(x - (1 + i)) = x^2 - 2·x + 2

(x^4 - 2·x^3 + x^2 + 2·x - 2) / (x^2 - 2·x + 2) = x^2 - 1

Das Restpolynom hat jetzt offensichtlich die Nullstellen ±1 und damit hat man alle möglichen 5 Nullstellen gefunden. Die Nullstellen sind also

x = 1 - i ∨  x = 1 + i ∨  x = -1  ∨  x = 1  ∨  x = 0

Avatar von 487 k 🚀

(x^4 - 2·x³ + x² + 2·x - 2) / (x² - 2·x + 2) = x2 + 1

Steht dort bei mir kein plus?

Es muss x²-1 heißen.

:-)

Irgendwie hab ich das heute nicht so mit den Vorzeichen glaub ich.

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